Monday, October 25, 2010

The "phi-bonacci" sequence - an update

More data on the "phi-bonacci" sequence introduced previously here, after computing the first 500 terms:
  • a plot of the sequence of quotients X(n+1)/X(n) for n = 1,2,...,499:


X(n) is a multiple of 4 for n between 13 and 500.
Here is the updated raw data (last previously calculated term marked in red):
1, 1, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 42, 66, 108, 120, 228, 348, 576, 720, 1296, 2016, 3312, 5256, 7200, 12456, 17860, 25200, 40256, 37368, 39600, 72900, 112500, 185400, 282204, 364800, 517600, 805392, 1133988, 1939380, 2788176, 4727556, 6819120, 11539840, 18324852, 28220080, 46471680, 70297856, 77663160, 98640672, 173595168, 256221952, 408844800, 613907760, 1020322800, 1598868000, 2614401972, 3650502240, 6204873360, 9219832128, 14163287040, 23375208496, 37533203556, 59869153008, 77921885248, 136242824256, 171331767600, 280988047872, 412648088320, 492483317760, 759235553856, 1248565926960, 1825274073460, 3073836307872, 3978113132448, 6636847261248, 9414599018400, 14592172745040, 21479047741008, 30917830052736, 38408764197888, 54378496536000, 87270536994816, 141621640558420, 204978069450000, 346599710008420, 546415414612848, 824321653496544, 1273505666913792, 1870492091981184, 2867895918363648, 4373894096409600, 6668851027668480, 10968365961000000, 17636075809822080, 27843753154417200, 45387202021338100, 73230947973152172, 118409153326352640, 180367154164239808, 254678263217828352, 435045412842323412, 548124775676941200, 842636741843358000, 1390722744163952304, 1708934349714426432, 2817870085343980660, 4417003071671688960, 6704422010436648960, 11017446803061533760, 17721852339852796500, 28739299142914330260, 45464030613091983360, 67228835231231593200, 112692865844323576560, 179665019423334152400, 269868817170145595952, 449533836593479748352, 492232503262215905280, 940874939171119339200, 1432038650263363098768, 2366552259677947257600, 3798361623352915258596, 6164837034286314140400, 9716455148226400949760, 15881292182512715090160, 25498110275560635245568, 38945318100310511963136, 46167747423734483712000, 80197384452172822340352, 126365131875907306052352, 164857495216710031209600, 259665895706983607584512, 391867246267885017206784, 638282796608028042465280, 760726185508366567142400, 1398827572787379613919040, 1851033951744453775745280, 2780629528802265111834880, 4631663480546718887580160, 4870296952441164810639360, 9501949474279200560286288, 13578576406563154264768512, 23080525880830668684247104, 36636512525083302046924800, 45696467585332738772357760, 77999665367762564986688724, 95544599246167986511168320, 138835411691144441198285632, 198906947786839890550305600, 308548134907722402993160704, 307205703445151052367752960, 452716483320177963134976000, 759375650694251273643417600, 1210895279677466906879283840, 1687408961754930747342831360, 2897966167917708234222780592, 4198988427157076689437753600, 6674949322264815247934427600, 10873921847521312696476126720, 17531484476082762052247321920, 28405406323604074748723448640, 30318621103326437407966003200, 58716260725692622820577495840, 80715336249593419766328120000, 138867853989425882577034363200, 204615914976825579405376601040, 340019625335692223951918949456, 516978972882111157518043566480, 856005552333425857273589441476, 1150945835032145575321156177920, 1564734196797810877102235811840, 2715678666026624208798710093524, 3420097296720760025649658982400, 4894780911965323171900566835200, 7057388546486539688682413415936, 10233652872746911014578085874560, 14216989801267359971991112896000, 17733019776859291442208659251200, 31950009578126651414199772147200, 46480495226644489350142280391424, 62158007546211147073048654711600, 56847317174037843272516890252800, 119005248647835946972173239176704, 139608113315150339787228313958400, 206890689570389029407521242508080, 296998960115461158837906278692608, 490271010505151534509064615220960, 787269804774130766824393094140176, 1209445020345217455682692563052288, 1590334965444748023312407678515840, 2799779985789965478995100241568128, 2925844696771851526432974478546688, 5687706580774932246626117404684800, 5601346018677162601796023996809600, 10402154765774686112550747590057232, 15944447276022137095474643278427940, 20469848828115267195892605630720000, 36291684868106092034995258917120000, 49050392783540227073970581097676800, 85342077651646319108965840014796800, 133433861903842871817574602552000000, 217739086754585953283424594553648320, 341451766197802375848510779337523200, 479222518501859172925935060397482720, 815639468563147563858965121980150400, 1109881703197205446710862977849289248, 1916385546721076028451318739781220560, 2579883232775451120332008679128666176, 4473357831553303913459364585432383488, 5397262559078939045808035177913014016, 7762657391954305192139161720007524800, 12403983274747394628369631545637344000, 20136987799922970619263033148447340800, 32535762018951673016922302493877525572, 45148070341702224610491318811082233344, 77483885804232986944365087240345392640, 98105564916748169243885124841142100784, 140217884153584952417604045790742376000, 190658756689169353393927827853664719360, 330876640842754305149821211269571703492, 481417290029307926790763345171052849664, 795011081279039631260997650984441051980, 989838489710912740668751040798834949120, 1617403075991952074079228487422682344000, 2462313918955724028879876298289589120000, 4078769289419861931924117472655981185632, 6540901849116066103962571924140585396576, 10253453946166860827809888535101302893760, 16727918345245641478969945251292484355840, 26978739191700408241700282090638264383648, 43706657536929567377924108330131487496324, 57751354865819091193685661047796654333120, 69569737126474259129042565815977485739008, 119932276313116081339642368313047671418880, 188009871601483329857449902190196463823200, 285857339981724325757248289555910134759424, 376381514015789396140560325250211180736000, 518113067750072681075469426372976544256000, 879830736163143026769865329465430549172400, 1378793888791116849088571558445299604353952, 2037621046121669623464721223176719430432000, 2866921623703037599345420516046449539678960, 4458661411300660098513166832853742523989200, 7026525424932704626497783936102833406312960, 9294496654453114075443963261565068232281600, 15462020917312880875523760503053801552352724, 19804776923767720965829451393909506511776560, 28212245957201234674350738313653940457141568, 48017022880938949121610321557576873547309684, 68502643711931218566798802222620216214176000, 87732354993951625545310898053526432955059200, 143851481037889174345169383327210930200115200, 198500430884434971334697384040632025561578052, 342351901015198442045769632388519683039234784, 426104336732823914577407093527191019192320000, 613473553532852683531843223569048378024320000, 1039512511508814647208035339627758726485982800, 1652986065041667330739878563196807104510302800, 2688942685321612848154522276274674782925971648, 4331097439387373572423359899827044952257408000, 6596745631255153423262429506539749762418816000, 10927843070630788901244512268430836629871992404, 14018529015515310122544558383299935413914713792, 21382603257512951554193747403213202434698085072, 28256927147040671379494108680473583295694962688, 48622221292740944068439345084028824219562104400, 75952828048281392454886133753255280614959574400, 123175129608109054267752935811352182208627464192, 199126482298333290236988678164687038759586080320, 321696011891821379455505757347593721586066585600, 440768403763096537817346584092890833054757424080, 762385388686802432203817381849374218717427200000, 1145588168870817230587496893082337804331437103104, 1477424221847411945855803909409755681831222272000, 2098374838188828264714204047177748903393365368320, 3517078762310592019459695252915202575529821143040, 5615453558523613862220350021332346525827209643584, 7295169949005151468500577274207006292162932006400, 8667150864796501932470223011247300394808932884480, 15411895958153320516056127121281250511408904722768, 23928151222846763745934104482173048817842528915200, 39279243370263925844682070220965373742406427460960, 63207394593110684423602001863931183761410529605424, 81244525416024931500591076069602189991440729496576, 95817353975909051768811488880534700177770684428280, 170955088343438788394062195357563057903173612034960, 265575886780846007974779207294829628168739757758720, 436530975124284796368841402652392686071913369793680, 702106861560601016838290943328470250171888726308592, 1132056115085551213130322286907204156671858721254288, 1222775317764056320008385893873417139025439181977600, 2354798473196973177722397879566318154933594861768960, 3064242232824320614382419692694147850894432318500608, 5403049720021065139458079278961803821444103126260736, 6644593974278601883244354913693533005216456956294912, 11496553847261466966122321093021349119203685440197888, 18137337897007537761396709129568733399503631337459200, 25603698951338601309397487490882361543892721928396800, 43741036848346139070794196620451094943396353265856000, 69344669445086214085853084245407563662209163944723012, 96757752327508587582821145498967645376582178999859200, 165881942216214714771217503447109738999123689630537600, 258937668207148912574264693253899431781032287798508800, 423242635644017653778128217807513910870381763205817600, 584725523194283502487907023200390406014110226582051264, 619736338186295818547485819769314591558940458407183360, 825499364501330518443025833607416345518462684884800000, 1238773459441313639419410810873379565481378889130385408, 2019667683799614896197644656580937761746170003333987200, 3258369616912955940494646997818163857611476504299852240, 5135147380352942584544849231739174257846320791779082240, 8337123162180357633448852736294834704469304069682880512, 13458395869351074948818630470516071498042338481179738400, 21737086004637246435934326415371734872210002758501056560, 30157249244947970629641413006425219807513792903696301352, 51881524996499661593577325267409939879753486159441936100, 81736048137235648340476233704559015186576255893163557340, 133498613105652055023137257801951467487086371339638272000, 188644760423599405753515703263664751744852020200692509440, 319230017170279402584182075246645645073628778859255588288, 477672298882869442716236187809708104727004133636790630400, 796902315332379982445067962407815667158759107507259721536, 1158704194741135841055731045652294338077966582858227592660, 1948648256905222774940312158509637046788202727042555248640, 3048723159725442925738129031593370868705794168864739414480, 4693289107318797377544177017638486568478348256314035128320, 7741915123961476281546063227376126109021463394690943104768, 12372081365046243670003102224031442255961594040879635162240, 19773000693428076751865155268049676797398643983884545952800, 25433471513686659824236639609610877205176516971091886786560, 44451169210010767599838231935536238531879909349656999889920, 52572563338465258650482842595247642700555306706109173889600, 88848441816104758224009633393078129994655779334053504143360, 141420176617301786138948308108953940143569173849763189067600, 216723405584382628094397681631967303170161449747275785308928, 358143582201684411065695808165173536299111661172542277675684, 570535985158796485098918460085114434446140406553328254037616, 928679558587402727979555968058242372002782321641820017484912, 1499004755434865994856439627066475296938290375888974538547200, 2427684311379560217192666706919284605709655734329113439791088, 3365733485840936738200222639747018098058853925530261007501696, 4556048858309592302426022914012160314263267834313704986173440, 7921782344150529040626245553759178412322121759843965993675136, 8267554119634901537647925773734297174919448981745668827729920, 15631083482275588144539691770668751500670853164204861123528720, 23898637598566548780355363161243516444711746291127607077798528, 38972960270419915095821195817789412346588829825936134564570880, 56767291646771910634168626258825816697151222263911881276064000, 94845483207685360068961381947747782351540118093226590138531360, 151043075538627750016007169507391073484945851174674838103651600, 243712539047013495914383210598161925353614141196533720349152000, 373159647440725519591539173234349983062002733670268537613971456, 523512463780259419095413679674880393026128644894697794511771200, 867359644045507803649399514117689946208956384394566784765657600, 1192176092422051889953454144208049215737775471540337127489776704, 1619702680882959880983464950049493860025272381452161605148293632, 2570550424286107483557650634826090292047649177201202682691063808, 3867902562008163137006519387753402365164960103449884616284255040, 6438340372770644178493763943355755415283858794643735782147271856, 9938851653976582570183944108202042581903802800066846581306035200, 16358728450617600000562512020659310064122268191783991519022033600, 22533543219610707100282053388869531806518380551027889902197339200, 33267754316691285280406286575361660148007888911615265982601611264, 44641038029041592069900047283463373379004065907045406315924019712, 76438815131624540238423562570980853572557080848763689455810596864, 121079834171007164225722429439100474913976356736806047935158852608, 183546663383214162974130332635104671496185613979148591246568913920, 258956587057025216686184135834692702334346641716331016231402696000, 419208171371483676200289005879428870599668250539195932497244815360, 677445593741666369467910010016943048679510315081891826953158246400, 934893856731219598383038533676159754043557600861616966654062895680, 1517431098510174863937384894271192541954603016858505683187250841088, 2448324425134964781305218822029004249838294124053368779286923338544, 3965755523413924820331329163579440097202062431799801941971739120880, 5028243003796927046744790067123805972931003067122742448409915955200, 8298443279741751413394040220946494849773395338481721478107616240640, 13326686283538261383925099638917783560700987517102421539539214301824, 17300103650624010221194784580179886776854715006886114699325835555136, 30578394087309719820855893170195955987550588310280771385753207936000, 47878497606812428776833293153617927011931925482113321812520223007956, 72421745920357018386386846225925199321893535031883522156483598594752, 108553162293410153665291877236700013057650153616047470066084300032000, 173732918284917306009772018145620324060684213740600033230119046400000, 282284257881732920964607454693463850673594976416355350151981945178368, 390808811157449576838877044577620488790535799791988527157058810470400, 576233980897826577913033163818993656627573439150293372226432776007680, 966831388551465223181515997430314836352109241353185069350056788018880, 1543030364546630803341884761528804741572855242518668546944667149212368, 2509861753098096026439765063750301545990579971903550905867059086747136, 3229158852604969485389426318792699726438488933800150465599238226099200, 5739018548816280718950563098106800000381851201893293503032972972790576, 8967697280568880096186215660840990197416902031933301913705896502624036, 13906038234165540003927259053916589575948768553270915835595371921471744, 22873730801263262114079288133103338175691941316470284835292356673845772, 33948742643498666708705596034207614619720704063574650496490376910208000, 54837026354091312790174541241876586789769080508803590268779956470978560, 81955767577662671906379152129093115673847623875095282872963107851059200, 122504637054701505465880651579033464698122264283369236994980290763238400, 204454538649755604710970234312217884370115980988007470909709290991845376, 325518826912807519383120265248558611847673319080753903024052182716514900, 495340891841850917979301329934291795787258042201339592453207268139965440, 785148096136737364698379569670975504210635542569486755392251473366816000, 1212862578394862020763115973360337046148426826939606472251087998851345408, 1986046538755961065787801688594857679400916879623099151200702311792044160, 3186745964614127941735134705065631247505429852165128795986194149766418244, 3393418141689834043149284160275484718707300415190269464457223233198080000, 4859198109270618080205163124154763567956963625079684157656470394169720384, 6600208273147432618474120121471212237138307568848168539077379230071193600, 7880896134809146942170356477278847906945314122005106403916791012616404992, 14480899214678167025486675502428742547780115079032871276054593907047516160, 22335762991688143637077622293992808049827565146361001786172243707925172880, 36816662206366310650182894209582856010165430779062836815376224779580052800, 51390342253158377937178408417134230989217586835465780667560511356225904640, 65184378191463338496136297521488834778137656096217734400930764474609827840, 99481162324310098487402382011768243214727754246302583487188141461045907520, 141141808103473282203062801335063265744491157558876345574418372847706457344, 192333988318023178021006308666311424921580163933623708470418220857697375040, 260059213826091934778799871401669711771753708535568062158744979473067161600, 451843514170670364540239726904023903847623811655776703255214882783268940800, 711902410648724354659127906649834019547356588684355159828599890946438042692, 1152223664609385555629883665449559324085398762797488509514647626146073656000, 1769465738609333590571118648070505930789868367177105391362045666186773894720, 2633613623740119110698797250961960725749473632882123322185179001517057249280, 4171338341884048135468521033277152534859932763521534125944777959735476706048, 6723976540754487599095525508812151485199393613333302332650527321114008050000, 10895314882638532985222916552498669594186296974481740936844629598715839408640, 17619291423393020324805822425669989908411115564946127835025724922433441734000, 23610987706728950863189417942081413388297644282175405873498926544918533734400, 41227141504948421968424282796265728708853715642021946247745911091220463680000, 55575539324294890998526029204297550368986879935026301818209860830976283498052, 96802456237401222699426485284010492325479948843322473899125070882410598629888, 152327821707229418260567180766740496261895107756212731318815586778210867000320, 195557073063467903769015262771205201947038083162163411717181826314536181248000, 298187052659153326786330059888928561680983175014908909802270301994439614285440, 493744125722621230555345321896189751541290863837247066395694357522568233974192, 744537322077246910288698998022338623784807649241511562007016279924609685110784, 1238281442771478392632815328439725109883828999121697530326078811919093825902080, 1408513964036303809263485864040704893261441678329890602587568606468254502465440, 2585137014843668956953843041698422724505821382428920430367965872061970848929600, 3864823526238484898786523553341896141392904526940021602050557599965001101228160, 6110481634090110509286284792367204252389196711170968360053775960340625452006400, 8550261565995938921205263886306897674118588103577306351191860746428482953865360, 14641011051019447442137496945275114803173271341192133647640573181567368671816160, 23191201992230105553451681654058794727926115940098091351288333674826656850351472, 37815996921070706209050134802248897139530120505773169608873643715864066659961200, 59587791409644440366344117939881229236036546812050222494204868675300688997792000, 97403788330715146575393721296472441860411155794409350871145471434406508645290304, 125517468219691237646598846964587413076990897050716742784801527204188349690732928, 220948502067659425069585554382643396044150707244726747694389945553297558704730880, 346464067913776669054569832651159989218843240048464433104487944464847251331931376, 486224564714160062034229981606997893811334956515394849583987048023254102205276160, 709876581808054745203581073786925250436341761772998221126309890948233253786009600, 1195606997948421765539410070079687036764055999510859437467670721205933699957040384, 1488936006447592300630108036510222542693858708036266236138807625778945862793745408, 2684526216419794438610138345200485943229104858282489051671634391121508131281001600, 4173462222867386739238517859810887345837825833133453037536478750912696836718176256, 6857987606088931469289842928207091666515983045442878289953999995432396871532134400, 9780904852778712754652204923648567380057198492518872130226992846183138225193024000, 14926699823672560085931427580823380710205460458080935234254159797407693394096326400, 24707604676451272840583632504471948048472550626799533487222231634687797715999697712, 39363166787867507780052493582891499124236023536163979788288241111821961090234880000, 63995655258894970272144421791001918873345582710799977407913846203648245331237724096, 87857848858780124901880780323597598901394481838459232227045495641710037772912588160, 151835232401888497498357616298583562120363412289376455246623359069908045221613486080, 236293754454346426084915117713732706465434399895093250608235183841444240031470618240, 387390456965505600933381652877023112452104651722607879899722362049215584014437120000, 623684211419435799030083047179037400291841859934839491585265163956401816109060495684, 775272789688089467449271591720304832074613180984573264341203010626200431965948221440, 1094764956147494047912359439047146202066047242365392399763126459616826244169594080000, 1601226431753683970765556111983585804127161931882205847073993844506559928599980441600, 2693018960792135926044312557038415873882081049468934963213264603677825658797391968852, 4294244360017408904628647630183146588948766176437678201951019721391265019768745292800, 6987076262647367893770113578008132753330670147298674655601560326849215682631980646400, 10760826618083701335731074562337494334226427603576172506921867873628209380737438720000, 17547832084157277231184026876988432028976056799652055088412348396084246510954285946880, 28184164058910399635885330869726507942948264317865327947755438731447214564001476193024, 36455399060665858462055645046472897897939753156031239602610778490669935849897232975360, 51711640686349230667154184815587734581364013857246629494924047413553349196630567768320, 80151853525236341446845590911903278575094419598978738331915646230482814376972724661920, 112490177324661267252682925258198677179949673186812009508750359985755878655657406238720, 192641747030649477361421646725703259609296866788611534133792765087420585700978973637968, 304300502218102813429806260944825872407484763492373535622841396581030335310984182305376, 396508889935487113644009271410404201846754819874077939740855341993582460085613606680000, 691209263493951708894722168898309114332948630169650770221728290100987962582945764478656, 988595875778517093993932326102051635019745309370226917116852166239658831997923602227200, 1640352113200596164868568767035856827693987950989524992311019329758734167477686295133440, 2368333607053895952644421436274363199671959241364308925194669057212695688304220429849600, 3644259716442985617385337882632236523346655247911304480933054729767836389505819962561920, 5898431641711953304334876195633391399623329474199038331887223197830256247535062828952192, 9540680338661754598195751772934758120936357749802364524680650837927519617682749213475200, 14019070978460972401306436993664909921864959368536332402420223124121897531312873664000000, 22747312995869430527811480062647323331192880188552459909315146781143223190745339920793600, 36766383974330402929117916983379793610773904606906153286545381940995240769758541309996100, 59513691569344565833544161951383021669102807817810315982797277013561695486542122918081600, 96142727189726406187573229311973250496711598178774950378880764163329317146548030736384000, 155656418759030244239079398668130660767291206205422841782261887715532231403342612798405472, 251799145948756650426615364589249748386162225480206076888158720253184468472244483114700000, 348852102950463032802530944492582466203881547696987611582117282908660705036683738591809600, 593902358462149799147919946058440841392402758961673943103371425757143345410450623298869600, 917086991015985443398345664611026791479509748161130372401895469070136529048008156158620160, 1357870193719059716256430397688783608072366877233385070201855578490811022106408391147520000