Tuesday, January 20, 2009

Un sir neperiodic

Sa consideram sirul binar a_n, n=0,1,2,... definit dupa cum urmeaza:

a_n=0, daca scrierea lui 2^n in baza 10 are un numar par de cifre, si a_n=1, in caz contrar.
Sa se arate ca {a_n} nu este "eventual periodic" (nu exista un intreg pozitiv k astfel incat egalitate a_{n+k}=a_n are loc pentru orice n suficient de mare). Aceasta problema (plus variatii pe aceeasi tema) a constituit o tema de "undergraduate research" pe care am propus-o unui student, acum 6 ani. Este o modalitate frumoasa de a introduce teorema de distributie uniforma in [0,1] a partilor fractionare ale multiplilor unui numar irational.