Thursday, January 15, 2009

"modulo n"...

Pentru fiecare n > 1 "inelul intregilor modulo n" Z/nZ consta din 0,1,...,n-1, adica toate resturile ce pot fi obtinute la impartirea cu n. Aceste elemente nu sunt "numere intregi obisnuite", similaritatea in notatie putand fi inselatoare. Astfel, "0"-ul lui Z/nZ reprezinta toti intregii care dau restul 0 la impartirea cu n, "1"-ul lui Z/nZ reprezinta toti intregii care dau restul 1 la impartirea cu n, si asa mai departe. Z/nZ este un univers aparte, in care se definesc o "adunare modulo n" si o "inmultire modulo n". Ideea este simpla: sa ne imaginam ca adunam/inmultim "normal" si, in cele din urma, pentru a identifica rezultatul adunarii/inmultirii in Z/nZ vom scrie numai restul adunarii/inmultirii "normale" la impartirea cu n. De exemplu: in Z/3Z = {0,1,2} avem 1+2=0, 2+2=1, 2^9=2, iar (X+Y)^3=X^3+Y^3 este o identitate valida! Putem considera "19" ca element al lui Z/3Z? Sigur! Iarasi, pentru a-l identifica pe 19, vom lua restul lui 19 la impartirea cu 3 - astfel, 19=1 in Z/3Z. Asemenea identificari sunt uneori foarte utile. De exemplu care dintre elementele 0,1,...,8 ale lui Z/9Z il reprezinta pe 11^99? In sfarsit, ca aplicatie la ecuatii in numere intregi, sa se arate ca ecuatia 3*X^2-Y^2=1 nu are solutii in numere intregi.